Encontre a derivada.

f(t) = ln(sehn(t))

Passo 1

Oi galerinha, bora resolver mais uma comigo?

A função dada é f t =   l n ⁡ ( s e n h   t )

Onde sinh ⁡ ( t ) representa o seno hiperbólico de t   e   l n representa o logaritmo natural.

O primeiro passo para encontrar a derivada de f ( t ) em relação a t é aplicar a regra da cadeia, que é uma ferramenta fundamental em cálculo diferencial para encontrar a derivada de uma função composta.

A regra da cadeia nos diz que se temos uma função externa g ( u ) e uma função interna f ( t ) , então a derivada da função composta g f t em relação a t é dada por g ' f t ⋅ f ' ( t ) .

No caso da função f t = ln ⁡ sinh ⁡ t a função externa é o logaritmo natural ln ⁡ ( u )   e a função interna é sinh ⁡ ( t ) .

Então, usamos a derivada da função n l n   u , que é 1 / u , e a derivada da função sinh ⁡ ( t ) , que é cosh ⁡ ( t ) .

Portanto, a derivada da função f t = ln ⁡ sinh ⁡ t em relação a t é dada cosh ⁡ t sinh ⁡ t .

Passo 2

Para encontrar a derivada da função f t = ln ⁡ sinh ⁡ t ,   usaremos a regra da cadeia.

A derivada da função ln ⁡ ( u )   em relação a u é 1 / u e a derivada de sinh ⁡ ( t ) em relação a t é cosh ⁡ ( t ) . Vamos aplicar isso à função dada:

Começamos com a função f t = ln ⁡ sinh ⁡ t

Aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de ln ⁡ ( u ) em relação a t é

1 u ⋅ d u d t

Portanto, a derivada ln ⁡ sinh ⁡ t em relação a t   é:

f ' t = 1 sinh ⁡ t ⋅ cosh ⁡ ( t )

Passo 3

A derivada de sinh ⁡ ( t ) em relação a t é cosh ⁡ ( t )   , então substituímos isso:

f ' t = 1 sinh ⁡ t ⋅ cosh ⁡ ( t )

f ' t = cosh ⁡ t sinh ⁡ t

Portanto, a derivada da função f t = ln ⁡ sinh ⁡ t em relação a t é cosh ⁡ t sinh ⁡ t .

Resposta

f ' t = cosh ⁡ t sinh ⁡ t

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