Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.4 - Ex. 14
Encontre o limite. Use a Regra de L’Hospital onde for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para que a gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Ou se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Precisamos calcular o seguinte limite:
E como a questão nos pede para, caso seja possível, usar métodos mais elementares, vamos tentar fazer isso.
Vamos reescrever nossa função usando as relação trigonométricas que conhecemos e ver se esse limite se torna mais simples.
Podemos lembrar que
Assim, o limite se torna:
Como temos uma fração no denominador, podemos inverter a fração e multiplicá-la pelo numerador. Assim:
Isto é,
Perfeito. Agora já somos capazes de calcular esse limite com mais facilidade.
Passo 3
Pra finalizar, basta tomarmos o limite de e substituir esse valor na função. Assim:
Como :
Portanto,
E prontinho. Fizemos o cálculo de modo mais elementar sem precisarmos da regra de L’Hospital.