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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 26

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

26 )   F x = tg - 1 ⁡ ( senh ⁡ x ² )

Passo 1

Bom, apesar de parecer confusa esta questão não é complicada. Vamos ter que lembrar do Teorema 8.2.3:

D x t g - 1 u = 1 1 + u ² . D x u

Legal, precisamos deixar esta função mais similar ao teorema, e para isso podemos chamar:

u = senh  ⁡ x ²

Aqui também precisamos de D x u , e quando derivamos olha só o que temos:

D x u = D x ( senh  ⁡ x ² )

Legal, já sabemos que para derivar o seno hiperbólico usamos o Teorema 8.4.3:

D x   senh ⁡ u = c o s h   u . D x u

Meio complicado, né? Então vamos por partes.

Passo 2

Vamos derivar senh  ⁡ x ² . Para deixar a função mais parecida com o teorema 8.4.3 podemos chamar

u = x ²

Como precisamos de D x u , vamos ter que derivar nosso u:

D x u = 2 x

Substituindo:

D x   senh ⁡ x ² = 2 x . cosh ⁡ x ²

Ainda não acabou né, vamos substituir tudo no teorema 8.2.3:

D x tg - 1 ⁡ ( senh ⁡ x ² ) = 1 1 + s e n h ² ( x 2 ) . 2 x . cosh ⁡ x ²

Passo 3

Vamos simplificar esta derivada usando a identidade (6):

cosh ² ⁡ x = 1 + senh 2 ⁡ x

Substituindo:

D x tg - 1 ⁡ ( senh ⁡ x ² ) = 1 cosh ⁡ x 2 . cosh ⁡ x 2 . 2 x

D x tg - 1 ⁡ ( senh ⁡ x ² ) = 2 x

Resposta

F ' x = 2 x

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