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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.11 - Ex. 30

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

f x = t g h   ( 1 + e 2 x )

Passo 1

Fala meus lindões,nessa questão queremos encontrar a derivada da seguinte função:

f x = t g h   ( 1 + e 2 x )

Para isso, vamos usar a derivada da tangente hiperbólica (que é igual a derivada da tangente normal, só que hiperbólico rs)

t g h   x ' = sech 2 ⁡ x

Também vamos precisar da derivada da exponencial:

e x ' = e x

E da derivada do polinômio:

x n ' = n x n - 1

E da constante:

c ' = 0

Por fim, vamos usar aqui a regra da cadeia, de quando temos uma função dentro da outra:

d d x f g x = d d g x f g x ⋅ d d x g x

Ou seja, a gente deriva de fora pra dentro...

Bora lá!

Passo 2

Nossa função é:

f x = t g h   ( 1 + e 2 x )

Aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = d d 1 + e 2 x t g h 1 + e 2 x ⋅ d d x 1 + e 2 x

f ' x = sech 2 ⁡ 1 + e 2 x ⋅ 0 + d d x e 2 x

f ' x = sech 2 ⁡ 1 + e 2 x ⋅ d d x e 2 x

Para encontrar a derivada que ficou faltando, vamos usar a regra da cadeia, de novo.

d d x e 2 x = d d 2 x e 2 x ⋅ d 2 x d x

d d x e 2 x = e 2 x ⋅ 2

Substituindo na primeira regra da cadeia temos:

f ' x = sech 2 ⁡ 1 + e 2 x ⋅ e 2 x ⋅ 2

f ' x = 2 e 2 x sech 2 ⁡ 1 + e 2 x

Prontinho😉

Resposta

f ' x = 2 e 2 x sech 2 ⁡ 1 + e 2 x

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