Enunciado

Encontre a derivada dada encontrando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

40. D 10 00 x e - x

Passo 1

Como ele diz no enunciado, a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão (perceba que precisamos da regra do produto):

D x e - x = d d x x ⋅ e - x + d d x e - x ⋅ x

D x e - x = e - x - x e - x

D x e - x = - x - 1 e - x

Segunda derivada:

D 2 x e - x = d d x e - x - x e - x

D 2 x e - x = d d x e - x - d d x x e - x

Aquela segunda derivada na equação a gente acabou de calcular ali em cima:

D 2 x e - x = - e - x - e - x - x e - x

D 2 x e - x = - 2 e - x + x e - x

D 2 x e - x = x - 2 e - x

Terceira derivada:

D 3 x e - x = d d x x - 2 ⋅ e - x + x - 2 ⋅ d d x e - x

D 3 x e - x = e - x + x - 2 ⋅ - e - x

D 3 x e - x = - x - 3 ⋅ e - x

Então, cada vez que derivamos o sinal se altera, o e - x permanece lá e os números multiplicando vão cada vez se tornando menores:

D n x e - x = - 1 n x - n ⋅ e - x

Vamos usar n = 1000 :

D 1000 x e - x = - 1 1000 x - 1000 ⋅ e - x

Menos um elevado a um número par é 1:

D 1000 x e - x = x - 1000 ⋅ e - x

Resposta

D 1000 x e - x = x - 1000 ⋅ e - x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que d d x 1 + t g hx 1 - t g hx 4 =1 2 e 1 2 x
Encontre a derivada. H t =t g h( e t )
Encontre a derivada. f t =l n ⁡ ( s e n ht )
Encontre a derivada. f t =e t sech ⁡ t
Encontre a derivada. h t =c otg h ⁡ 1 + t ² ²