Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 47
Mostre que
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a derivada do arco tangente da tangente hiperbólica de é igual a secante hiperbólica de .
Calma, vamos pensar juntos. A derivada do arco tangente de é tabelada, olha só:
E a derivada da tangente hiperbólica também é conhecida, lembra dela? Olha aqui:
Tá, ainda não é nossa função. Mas dá pra chegar nela a partir desses resultados, derivando a nossa função através da Regra da Cadeia (onde a gente calcular a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro). E é isso que nós vamos fazer.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a nossa função de fora, que é o arco tangente. O resultado é o mesmo do passo , só que invés de , o argumento da nossa função é . Aí fica assim:
Essa é a derivada da fora aplicada na função de dentro. Agora falta derivar a função de dentro, que é . Nós vimos no passo que essa derivada é . Então, vai ficar assim:
Passo 3
Agora vamos tentar chegar em manipulando um pouco nosso resultado. Pra isso, vamos substituir as identidades e . Olha só:
Fazendo a divisão de frações:
Simplificando:
Agora usando a identidade trigonométrica: , vamos ter:
E como , temos:
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉