Encontre a derivada da função.

y = x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:

y = x   + x  

E pede pra gente derivá-la.

A ideia para resolver essas questões, é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?

Observe que essa função é formada por uma soma de duas funções. Podemos pensar dessa forma, sendo:

f x = x  

g x = x  

Assim, nossa função se torna:

y = x   + x   = f x + g x

E para derivar a soma de funções, basta fazer a soma das derivadas de cada função.

Assim, temos aqui que a derivada da soma é a soma das derivadas:

y ' = x   ' = x   ' + ( x   ) '

Então esse é o nosso plano.

Passo 2

Como precisamos somar as derivadas de duas funções, vamos calcular o valor de cada uma delas separadamente. Beleza?

Começando com:

f x = x  

Mas perceba que aqui temos uma função dentro da outra. Observe que temos a função

s e c s e c   x  

e essa função está ao quadrado, formando nossa função f x = x   . Sendo assim, essa é uma função composta que precisará da regra da caída para ser derivada.

Relembrando que a regra da cadeia é:

f ' u = f ' ⋅ u '

Ou seja, derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.

Assim:

f ' x = x   '

f ' x = 2 x . x    

E derivando a função de dentro, teremos:

f ' x = 2 s e c s e c   x   . s e c s e c   x . x    

Que pode ser escrita como:

f ' ( x ) = 2 x   x  

Prontinho. Essa foi.

Passo 3

Vamos calcular

g ' x = x   '

usando a regra da cadeia também, teremos:

g ' x = 2 x . x   '  

E derivando a de dentro, ficamos com:

g ' x = x  

Show, já temos as duas derivadas.

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y ' = x   ' + x   '

Que se torna:

y ' = 2 x   x   + x  

E organizando um pouco, teremos:

y ' = 4 x  

Prontinho. Calculado.

Resposta

y ' = 4 x  

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