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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 28

Encontre a derivada da função.

y = (e^(2 u))/(e^u + e^(- u))

Passo 1

Queremos encontrar a derivada da função:

y = (e^(2 u))/(e^u + e^(- u))

Para isso vamos usar a regra do quociente:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (u) = e^(2 u)

g (u) = e^u + e^(- u)

Vamos agora só montar na fórmula:

y^' = ((e^(2 u))/(e^u + e^(- u)))^' = ((e^(2 u)) ' . (e^u + e^(- u)) - (e^(2 u)) . (e^u + e^(- u)) ')/((e^u + e^(- u))^2)

Passo 2

Agora a gente precisa usar a regra da cadeia pra calcular f ' ( u ) e g ' ( u ) :

(d y)/(d u) = (d y)/(d x) (d x)/(d u)

f (u) = e^(2 u)

Podemos dizer que:

x = 2 u

(d ( e^(2 u) ))/(d u) = (d (e^x))/(d x) (d (2 u))/(d u) = 2 e^x = 2 e^(2 u)

f^' (u) = 2 e^(2 u)

Agora vamos calcular:

g^' (x) = e^u + e^(- u)

Mas só a parte do e^(- u) , beleza? Fazemos:

x = - u

(d ( e^(- u) ))/(d u) = (d (e^x))/(d x) (d (- u))/(d u) = - e^x = - e^(- u)

Logo:

g^' (x) = e^u - e^(- u)

Passo 3

Substituindo, temos:

y^' = ((e^(2 u))/(e^u + e^(- u)))^' = ((2 e^(2 u)) . (e^u + e^(- u)) - (e^(2 u)) . (e^u - e^(- u)))/((e^u + e^(- u))^2)

Agora é só simplificar:

y^' = (2 e^(3 u) + 2 e^u - e^(3 u) + e^u)/((e^u + e^(- u))^2)

y^' = (e^(3 u) + 3 e^u)/((e^u + e^(- u))^2)

Prontinhoo!

Resposta

y^' = (e^(3 u) + 3 e^u)/((e^u + e^(- u))^2)

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