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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 69

Suponha que f seja derivável em R . Seja F x = f ( e x ) e G ( x ) = e f x . Encontre as expressões para

  1. F ' ( x ) e (b) G ' ( x ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar as expressões para as seguintes derivadas:

  1. F ' ( x ) ;
  2. G ' ( x ) .

Dado que:

F x = f ( e x )

E

G ( x ) = e f x

Então, para resolver essa questão vamos usar a regra da cadeia, onde temos que se:

F x = f ( g x )

Então:

F ' x = f ' g x . g ' ( x )

Beleza??

Passo 2

(a) Bom, aqui, nós temos que derivar F x = f ( e x ) .

Logo, usando a regra da cadeia (passo 1), teremos que:

F ' x = f ' e x e x '

Nós não sabemos que função f ( x ) é essa exatamente, então, vamos deixar a derivada do jeito que já tá.

E sabemos que a derivada de e x é o próprio e x . Logo:

F ' x = f ' e x e x

Passo 3

(b) Agora, vamos derivar G x = e f x .

Também vamos usar a regra da cadeia, beleza??

Então, como a derivada de e x é ele mesmo, pela regra da cadeia:

G ' x = e f x f ' ( x )

Só isso!! Acabamos. 😊

Resposta

  1. F ' x = f ' e x e x

  2. G ' x = e f x f ' ( x )
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