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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 43

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = tgh - 1 ⁡ x  

Passo 1

E ai, meu caro, blz?

Vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão:

y = tgh - 1 ⁡ x  

  • funções hiperbólicas inversas:

    • Usaremos a da tangente hiperbólica inversa:

    x   ' = 1 1 - x 2

  • regra da cadeia:

    • F ' x = f ' g x . g ' x

  • polinômio:

x n ' = n x n - 1

Portanto vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia e do polinômio:

Passo 2

Vamos dar uma arrumada nessa função:

y = tgh - 1 ⁡ x   → tgh - 1 ⁡ x 1 2  

Passo 3

Vamos agora derivar!!

y ' = tgh - 1 ⁡ x 1 2     '

Aplicando a regra da cadeia:

y ' = tgh - 1 ⁡ x 1 2     ' . x 1 2 '

Repare que adicionamos uma derivada do que está dentro da função t g h - 1 .

Aplicando a derivada da tangente hiperbólica inversa e a regra da cadeia:

y ' = 1 1 - x 1 2 2 . x 1 2 '

Agora aplicando a derivada do polinômio:

  y ' = 1 1 - x 2 2 . 1 2 x 1 2 - 1

y ' = 1 1 - x . 1 2 x - 1 2

Simplificando

y ' = 1 1 - x . 1 2 x

y ' = 1 2 x ⋅ 1 - x

Resposta

y ' = 1 2 x ⋅ 1 - x

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