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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 12

Encontre a derivada da função.

f (t) = root(3)(1 + tg t)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

f (t) = root(3)(1 + tg t)

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

f (t) = root(3)(1 + tg t) = (1 + tg t)^((1)/(3))

Vamos analisar a função: temos uma constante e uma função trigonométrica elevadas ao grau (1)/(3) .

Vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Agora bora aplicar!! 😉

Passo 2

Temos que achar quais são as funções f (x) e g (x) , temos que:

F (x) = f (g (x))

g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

g (x) = 1 + tg t e f (u) = u^((1)/(3))

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de funções trigonométrica, a regra da função constante e regra da derivada de polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

Da função trigonométrica tangente:

(tg (t))^' = sec^2 (t)

Da função constante:

(c)^' = 0

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando duas regras:

g^' ( x ) = (1)^' + (tg (t))^' = 0 + sec^2 (t) = sec^2 (t)

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f^' (u) = (u^((1)/(3)))^' = ((1)/(3) u^((1)/(3) - 1)) = (1)/(3) u^(- (2)/(3)) = (1)/(3 root(3)(u^2))

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

f ' (t) = ((1 + tg t)^((1)/(3))) ' = f ' (g (x)) . g ' (x) = ((1)/(3 root(3)(u^2))) . sec^2 (t)

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

f^' (t) = ((1)/(3 root(3)(u^2))) . sec^2 (t) = ((1)/(3 root(3)((1 + tg t)^2))) . sec^2 (t) = (sec^2 (t))/(3 root(3)((1 + tg t)^2))

Resposta

f ' (t) = (sec^2 (t))/(3 root(3)((1 + tg t)^2))

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