Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

y = raiz(tan^(-1)(x))

Passo 1

Faaaala, galera! Beleza 😊?

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função

y = tan - 1 ⁡ x .

Observe que temos uma função bem complicada que envolve a composição de outras funções como a função raíz quadrada e a função inversa da tangente, certo?

Dessa forma, vamos utilizar a Regra da Cadeia para obter a derivada pedida! Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício, beleza?

  • Regra da Cadeia: sejam f e g funções deriváveis, então
  • f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

  • Regra da potência:
  • x n ' = n x n - 1 .

  • A derivada da inversa da tangente:

( tan - 1 ⁡ x ) '   =   1 x 2 + 1 .

Já temos tudo o que precisamos. Bora lá 😎!

Passo 2

Para calcular a derivada da função

y = tan - 1 ⁡ x ,

Perceba que escolhendo

f x = x = x 1 2

e

  g x = tan - 1 ⁡ x ,

vamos ter que

f ∘ g x = f g x = tan - 1 ⁡ x ,

é a função dada no enunciado.

Como vimos no Passo anterior, pela Regra da Cadeia vale que

y ' = f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

Então, precisamos calcular cada um dos termos a direita!

Pela Regra da Potência vale que

f ' x = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2 .

Além disso, como relembramos no Passo 1 , sabemos que

g ' x = 1 x 2 + 1 .

Logo, substituindo as derivadas, vamos obter que

y ' = 1 2 tan - 1 ⁡ x - 1 2 ⋅ 1 x 2 + 1 .

Rearrumando os termos, temos que a derivada procurada é dada por

y ' = 1 2 ( 1 + x 2 ) tan - 1 ⁡ x .

Resposta

A derivada pedida é dada por:

y ' = 1 2 ( 1 + x 2 ) tan - 1 ⁡ x .

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