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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 50

Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

y = tan - 1 ⁡ x

Passo 1

Faaaala, galera! Beleza 😊?

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função

y = tan - 1 ⁡ x .

Observe que temos uma função bem complicada que envolve a composição de outras funções como a função raíz quadrada e a função inversa da tangente, certo?

Dessa forma, vamos utilizar a Regra da Cadeia para obter a derivada pedida! Para facilitar o nosso trabalho, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício, beleza?

  • Regra da Cadeia: sejam f e g funções deriváveis, então

    • f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

  • Regra da potência:

    • x n ' = n x n - 1 .

  • A derivada da inversa da tangente:

( tan - 1 ⁡ x ) '   =   1 x 2 + 1 .

Já temos tudo o que precisamos. Bora lá 😎!

Passo 2

Para calcular a derivada da função

y = tan - 1 ⁡ x ,

Perceba que escolhendo

f x = x = x 1 2

e

  g x = tan - 1 ⁡ x ,

vamos ter que

f ∘ g x = f g x = tan - 1 ⁡ x ,

é a função dada no enunciado.

Como vimos no Passo anterior, pela Regra da Cadeia vale que

y ' = f ∘ g ' x = f ' g x g ' x .

Então, precisamos calcular cada um dos termos a direita!

Pela Regra da Potência vale que

f ' x = 1 2 x 1 2 - 1 = 1 2 x - 1 2 .

Além disso, como relembramos no Passo 1 , sabemos que

g ' x = 1 x 2 + 1 .

Logo, substituindo as derivadas, vamos obter que

y ' = 1 2 tan - 1 ⁡ x - 1 2 ⋅ 1 x 2 + 1 .

Rearrumando os termos, temos que a derivada procurada é dada por

y ' = 1 2 ( 1 + x 2 ) tan - 1 ⁡ x .

Resposta

A derivada pedida é dada por:

y ' = 1 2 ( 1 + x 2 ) tan - 1 ⁡ x .

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Ache f ' ( x ) se f (x) = ( |x + 1| - | x | )^2 .
Use a regra da cadeia para provar que (a) a derivada de uma função par é uma função ímpar e (b) a derivada de uma função ímpar é uma função par, desde que essas derivadas existam.
Deduza a fórmula da derivada da função cosseno usando a fórmula da derivada da função seno, a regra da cadeia e as identidades cos ⁡ x = s e nπ 2 - xes e nx = cos ⁡ π 2 - x
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = tan
Suponha que f e g sejam funções, tais que f ' x = 1 x e f ∘ g x = x . Prove que se g ' ( x ) existir, então g ' x = g ( x ) .