Encontre a derivada da função.

y = x      

Passo 1

Fala aí, pessoal.

Essa questão pede pra gente derivar a função

y = x      

Repare que temos aqui uma função dentro da outra como se fosse uma casca de cebolas. Nesses casos dizemos que temos uma função composta. E para encontrar sua derivada devemos usar a regra da cadeia.

Essa regra diz o seguinte

Sendo:

f g x

Sua derivada será:

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' x

Ou seja, a derivada da de fora, vezes a derivada da de dentro.

Mas repare que nossa função tem três funções em composição. Então fazermos uma adaptação na regra da cadeia aplicando ela por três vezes, e teremos algo desse tipo aqui:

f g h x

E sua derivada será:

f g h x ' = f ' g h x ⋅ g ' h x ⋅ h ' x

Show, vamos ver isso acontecendo nosso passo a passo abaixo. Vem comigo.

Passo 2

Nossa função é:

y = x      

E será entendida como:

f g h x

Assim, sua derivada é:

f g h x ' = f ' g h x ⋅ g ' h x ⋅ h ' x

Lembrando da derivada da função seno, temos:

x   ' = c o s c o s   x  

Passo 3

Usando a regra da cadeia, vamos calcular y ' devagar e separadamente:

y ' = x       '

y ' = x       ⋅ x     ⋅ x  

Aplicando uma de cada vez, ficamos com:

y ' = c o s c o s   x       ⋅ c o s c o s   x     ⋅ c o s c o s   x  

E prontinho. Temos nossa resposta!

Resposta

y ' = c o s c o s   x     .   c o s c o s   x   .   c o s c o s   x  

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Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Calcule f ' 1 supondo g 1 = 4 e g ' 1 = 2 .
Seja y = y | r derivável até a 2^a ª ordem. Verifique qued/dr (y^2 * (dy/dr)) = 2y * (dy/dr)^2 + y^2 * (d^2y/dr^2) / (dr^2)
Derive.g) y = cossec(2x)
Seja g : R → R diferenciável e seja f dada por f(x) = x * g(x^2) . Verifique quef'(x) = g(x^2) + 2 * x^2 * g'(x^2)
Seja y = e^(αx) , onde alpha é uma raiz da equação λ^2 + aλ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que(d^2y)/(d^2x) + a (dy)/(dx) + by = 0