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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 51

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

y = sin - 1 ⁡ ( 2 x + 1 )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função:

y = sin - 1 ⁡ ( 2 x + 1 )

Observe que nós temos uma função composta, sin - 1 ⁡ x e 2 x + 1 . Isso significa que vamos precisar usar a regra da Cadeia na derivação, que é dada por:

f g x ' = f ' g x ∙ g ' ( x )

Lembrando que a derivada da inversa do seno ( sin - 1 ( ⁡ x ) ) é 1 1 - x 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia na derivada da nossa função:

y ' = 1 1 - 2 x + 1 2 ∙ 2 x + 1 '

Observe que nós só derivamos a função inversa do seno, que a função mais externa. Agora derivando a função de dentro, usando a regrinha da potência ( x n ' = n x n - 1 ), vamos ter:

y ' = 1 1 - 2 x + 1 2 ∙ ( 2 )

Abrindo o termo elevado ao quadrado, temos:

y ' = 2 1 - 4 x 2 - 4 x - 1

Simplificando:

y ' = 2 - 4 x 2 - 4 x

Colocando o 4 em evidência e tirando ele da raiz, conseguimos simplificar ainda mais nossa expressão. Olha só:

y ' = 2 4 ( - x 2 - x )

y ' = 2 2 ( - x 2 - x )

E ficamos com:

y ' = 1 - x 2 - x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 1 - x 2 - x

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