Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 38
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar a sua derivada.
A ideia para resolver essas questões é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?
Observe que essa função tem elevado a .
Essa função pode ser entendida como uma função composta onde:
E
Ou seja, temos uma função dentro da outra. E para casos desse tipo, precisaremos usar a regra da cadeia. Que é essa aqui:
Que se torna:
Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.
Então, partiu para aplicar essa regra juntinho comigo.
Passo 2
Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la da seguinte forma:
Show. Agora vamos ver como nossa regra da cadeia se encaixa nessa função.
Passo 3
Perceba que tenhos muitas coisas envolvidas nessa função
Então precisaremos usar a regra de derivação da função exponencial, da multiplicação por constante e da função trigonométrica. E lembrando de cada uma delas, teremos:
Para a exponencial, temos:
Já para a multiplicação de uma função por uma constante, a derivada se torna:
Onde podemos colocar a constante do lado de fora multiplicando a derivada da função.
E para a , temos uma derivada tabelada dada por:
Perfeito. Assim, temos tudo que precisamos. Agora basta substituirmos na fórmula inicial.
Passo 4
E nossa derivação se torna:
Para derivar vamos usar a regra da cadeia novamente.
Sendo:
A derivada se torna:
O que nos dará:
E ajustando, temos:
Que pode ser escrito na forma:
Passo 5
Por último é só substituir na expressão do passo e ficamos com:
E prontinho. Derivamos e ficou bem feito, mas nem tudo na vida são flores. Essa virou essa função esquisita aí. Mas confia que está certinho. Ok?