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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 18

Seja y = e^(- t) cos 2 t . Verifique que

(d^2 y)/(d t^2) + 2 (d y)/(d t) + 5 y = 0

Passo 1

Derivamos y em relação a t , usando primeiramente a regra do produto:

(d y)/(d t) = (e^(- t))^' cos 2 t + e^(- t) (cos 2 t)^'

Agora utilizamos a regra da cadeia para calcular (e^(- t))^' e (cos 2 t)^' :

(d y)/(d t) = (e^(- t)) (- t)^' cos 2 t + e^(- t) (- sen 2 t) (2 t)^'

(d y)/(d t) = (e^(- t)) (- 1) cos 2 t + e^(- t) (- sen 2 t) (2)

(d y)/(d t) = - e^(- t) cos 2 t - 2 e^(- t) sen 2 t

Passo 2

Com a regra da soma, começamos a calcular a derivada de 2 ª ordem:

(d^2 y)/(d t^2) = - (e^(- t) cos 2 t)^' - 2 (e^(- t) sen 2 t)^'

Já sabemos que (e^(- t) cos 2 t)^' = (d y)/(d t) , mas vamos deixar para substituir no final, para a expressão não ficar muito grande.

De modo análogo ao Passo 1, vamos calcular:

(e^(- t) sen 2 t)^' = (e^(- t))^' sen 2 t + e^(- t) (sen 2 t)^'

(e^(- t) sen 2 t)^' = (e^(- t)) (- t)^' sen 2 t + e^(- t) (cos 2 t) (2 t)^'

(e^(- t) sen 2 t)^' = (e^(- t)) (- 1) sen 2 t + e^(- t) (cos 2 t) (2)

(e^(- t) sen 2 t)^' = - e^(- t) sen 2 t + 2 e^(- t) cos 2 t

Passo 3

Agora vamos substituir (e^(- t) cos 2 t)^' = (d y)/(d t) e a expressão de (e^(- t) sen 2 t)^' que acabamos de obter na segunda derivada de y :

(d^2 y)/(d t^2) = - (- e^(- t) cos 2 t - 2 e^(- t) sen 2 t) - 2 (- e^(- t) sen 2 t + 2 e^(- t) cos 2 t)

(d^2 y)/(d t^2) = e^(- t) (4 sen 2 t - 3 cos 2 t)

Então, só nos resta substituir y e suas derivadas no lado esquerdo da equação do enunciado para chegar a 0 , verificando que a equação é verdadeira:

(d^2 y)/(d t^2) + 2 (d y)/(d t) + 5 y =

= e^(- t) (4 sen 2 t - 3 cos 2 t) + 2 (- e^(- t) cos 2 t - 2 e^(- t) sen 2 t) + 5 (e^(- t) cos 2 t)

= e^(- t) (4 sen 2 t - 3 cos 2 t - 2 cos 2 t - 4 sen 2 t + 5 cos 2 t)

= e^(- t) (0)

= 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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