Seja y = e^(-t) \* cos(2t) . Verifique que

(d^2y)/(dt^2) + 2(dy/dt) + 5y = 0

Passo 1

Derivamos y em relação a t , usando primeiramente a regra do produto:

d y d t = e - t ' cos ⁡ 2 t + e - t cos ⁡ 2 t '

Agora utilizamos a regra da cadeia para calcular e - t ' e cos ⁡ 2 t ' :

d y d t = e - t - t ' cos ⁡ 2 t + e - t - sen ⁡ 2 t 2 t '

d y d t = e - t - 1 cos ⁡ 2 t + e - t - sen ⁡ 2 t 2

d y d t = - e - t cos ⁡ 2 t - 2 e - t sen ⁡ 2 t

Passo 2

Com a regra da soma, começamos a calcular a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d t 2 = - e - t cos ⁡ 2 t ' - 2 e - t sen ⁡ 2 t '

Já sabemos que e - t cos ⁡ 2 t ' = d y d t , mas vamos deixar para substituir no final, para a expressão não ficar muito grande.

De modo análogo ao Passo 1, vamos calcular:

e - t sen ⁡ 2 t ' = e - t ' sen ⁡ 2 t + e - t sen ⁡ 2 t '

e - t sen ⁡ 2 t ' = e - t - t ' sen ⁡ 2 t + e - t cos ⁡ 2 t 2 t '

e - t sen ⁡ 2 t ' = e - t - 1 sen ⁡ 2 t + e - t cos ⁡ 2 t 2

e - t sen ⁡ 2 t ' = - e - t sen ⁡ 2 t + 2 e - t cos ⁡ 2 t

Passo 3

Agora vamos substituir e - t cos ⁡ 2 t ' = d y d t e a expressão de e - t sen ⁡ 2 t ' que acabamos de obter na segunda derivada de y :

d 2 y d t 2 = - - e - t cos ⁡ 2 t - 2 e - t sen ⁡ 2 t - 2 - e - t sen ⁡ 2 t + 2 e - t cos ⁡ 2 t

d 2 y d t 2 = e - t 4 sen ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t

Então, só nos resta substituir y e suas derivadas no lado esquerdo da equação do enunciado para chegar a 0 , verificando que a equação é verdadeira:

d 2 y d t 2 + 2 d y d t + 5 y =

= e - t 4 sen ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t + 2 - e - t cos ⁡ 2 t - 2 e - t sen ⁡ 2 t + 5 e - t cos ⁡ 2 t

= e - t 4 sen ⁡ 2 t - 3 cos ⁡ 2 t - 2 cos ⁡ 2 t - 4 sen ⁡ 2 t + 5 cos ⁡ 2 t

= e - t 0

= 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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