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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 19

Seja y = (x + 1)/(x - 1) . Verifique que

(1 - x) (d^2 y)/(d x^2) = 2 (d y)/(d x)

Passo 1

Derivamos y em relação a x , usando a regra do quociente:

(d y)/(d x) = ((x + 1)/(x - 1))^'

(d y)/(d x) = ((x + 1)^' (x - 1) - (x + 1) (x - 1)^')/((x - 1)^2)

(d y)/(d x) = ((1) (x - 1) - ( x + 1 ) ( 1 ))/((x - 1)^2)

(d y)/(d x) = (- 2)/((x - 1)^2)

Passo 2

Calculamos a derivada de 2 ª ordem usando a regra da cadeia:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) [- 2 (1)/((x - 1)^2)]

(d^2 y)/(d x^2) = - 2 [(x - 1)^(- 2)]^'

(d^2 y)/(d x^2) = - 2 [- 2 (x - 1)^(- 3)] (x - 1)^'

(d^2 y)/(d x^2) = - 2 [- 2 (x - 1)^(- 3)] (1)

(d^2 y)/(d x^2) = (4)/((x - 1)^3)

Passo 3

Agora vamos substituir y e sua segunda derivada no primeiro membro da equação que queremos verificar:

(1 - x) (d^2 y)/(d x^2) = (1 - x) (4)/((x - 1)^3) = - (x - 1) (4)/((x - 1)^3) = (- 4)/((x - 1)^2)

Por último, substituímos a primeira derivada de y no segundo membro da mesma equação:

2 (d y)/(d x) = 2 (- 2)/((x - 1)^2) = (- 4)/((x - 1)^2)

Como os dois membros da equação são iguais, ela se verifica:

(1 - x) (d^2 y)/(d x^2) = 2 (d y)/(d x)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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