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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 28

Calcule a integral

∫ 0 1 3 + x x d x

Passo 1

Eaee, belezinha??

Bom.. queremos calcular a seguinte ntegral:

∫ 0 1 3 + x x d x

Então... Temos uma integral definida e sabemos que, pelo Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f u d u = F b - F a

Em que F é a antiderivada de f , ou seja, F ' = f .

Também devemos saber que, pela propriedade 3:

∫ a b c f u d u = c ∫ a b f u d u

Onde c é qualquer constante.

Lembre-se também que a primitiva F x de f x = a x n , onde n é um inteiro diferente de - 1 , é dada por:

F x = a x n + 1 n + 1 + C

Agora vamos lá!! 😉

Passo 2

Antes de resolvermos a integral, vamos brincar um pouco com a álgebra para simplificar a função de integração:

∫ 0 1 3 + x x d x = ∫ 0 1 3 + x x 1 2 d x

∫ 0 1 3 + x x d x = ∫ 0 1 3 + x 1 + 1 2 d x

∫ 0 1 3 + x x d x = ∫ 0 1 3 + x 3 2 d x

Agora podemos calcular a antiderivada de f x = 3 + x 3 2 !

f x = 3 + x 3 2 → F x = 3 x 0 + 1 0 + 1 + x 3 2 + 1 3 2 + 1 + C

Simplificando...

F x = 3 x + x 5 2 5 2 + C

F x = 3 x + 2 5 x 5 2 + C

Tranquiloa até aqui?

Passo 3

Agora é so a gente integrar aplicando os conceitos do Teorema Fundamental do Cálcuo que vimos no Passo 1:

∫ a b f u d u = F b - F a

∫ 0 1 3 + x x d x = 3 1 + 2 5 1 5 2 + C - 3 0 + 2 5 0 5 2 + C

∫ 0 1 3 + x x d x = 3 + 2 5 + C - C

Perceba que sempre as constantes C vão se cancelar quando temos uma integral definida!

∫ 0 1 3 + x x d x = 17 5

Entendeu direitinho?? Responde Aí! 😉

Resposta

∫ 0 1 3 + x x d x = 17 5

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