Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 36

Encontre a derivada da função.

f ( t ) = sqrt((t)/(t^2 + 4))

Passo 1

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função e escrevê-la como na forma de um polinômio:

f (t) = sqrt((t)/(t^2 + 4)) = ((t)/(t^2 + 4))^((1)/(2))

Passo 2

Primeiro vamos usar a regra da cadeia:

f^' ( t ) = (1)/(2) ((t)/(t^2 + 4))^((1)/(2) - 1) . ((t)/(t^2 + 4))^' = (1)/(2) ((t)/(t^2 + 4))^(- (1)/(2)) . ((t)/(t^2 + 4))^'

Agora temos que usar a regra da divisão para calcular:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

f (t) = t

e

g (t) = t^2 + 4

Vamos agora só montar na fórmula:

((t)/(t^2 + 4))^' = ((t) ' . (t^2 + 4) - (t) . (t^2 + 4) ')/((t^2 + 4)^2)

Passo 3

Vamos calcular f ' ( t ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f ' ( t ) = (t)^' = t^(1 - 1) = t^0 = 1

Passo 4

Com g ' ( t ) é usamos também a da função constante:

(c)^' = 0

g ' ( t ) = (t^2 + 4)^' = 2 t^(2 - 1) + 0 = 2 t^1 = 2 t

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

((t)/(t^2 + 4))^' = ((t) ' . (t^2 + 4) - (t) . (t^2 + 4) ')/((t^2 + 4)^2) = (1 . (t^2 + 4) - (t) . 2 t)/((t^2 + 4)^2) = (t^2 + 4 - 2 t^2)/((t^2 + 4)^2) = (- t^2 + 4)/((t^2 + 4)^2)

Passo 6

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

f^' (t) = (1)/(2) ((t)/(t^2 + 4))^(- (1)/(2)) . ((t)/(t^2 + 4))^' = (1)/(2) ((t)/(t^2 + 4))^(- (1)/(2)) . ((- t^2 + 4)/((t^2 + 4)^2)) = (- t^2 + 4)/(2 sqrt((t)/(t^2 + 4)) (t^2 + 4)^2)

Resposta

f^' (t) = (- t^2 + 4)/(2 sqrt((t)/(t^2 + 4)) (t^2 + 4)^2)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Seja f uma função diferenciável e suponha que, para todo x ∈ D f , 3 x 2 + x sen ⁡ f x = 2 . Mostre que f ' x = - 6 x + sen ⁡ f x x cos ⁡ f x , para todo x ∈ D f , com x cos ⁡ f x ≠ 0 .
Derive.i) y = ln (sec 3 x + tan 3 x)
Determine a derivada.f (x) = e^(3 x)
Determine a derivada.y = (sen x + cos x)^3
Determine a derivada.y = s i n 4 x