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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1i

Determine a derivada.

y = (sen x + cos x)^3

Passo 1

Vamos analisar a função, temos uma função trigonométrica dentro de um polinômio, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Onde u = g (x) .

Passo 2

Temos que g (x) é a função mais de dentro e y = f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = sen x + cos x

Assim:

y = f (x) = u^3

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função trigonométrica e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

(cos x)^' = - sen x

(sen (x))^' = cos (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x) = (d)/(d u) (u^3) * (d)/(d x) (sen x + cos x) = 3 u^(3 - 1) * (cos x + (- sen x)) = 3 u^2 (cos x - sen x)

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = 3 u^2 (cos x - sen x) = 3 (sen x + cos x)^2 (cos x - sen x)

Resposta

y ' = 3 (sen x + cos x)^2 (cos x - sen x)

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