Encontre a derivada da função.

y = 3 \* cot(n \* theta)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

y = 3 cot ⁡ n θ

Temos uma constante multiplicando uma função trigonométrica com um polinômio dentro, vamos com calma então pra resolver esse.

Para resolver isso, primeiro usamos a regra da multiplicação por constante:

k f x ' = k f ' ( x )

y ' = 3 cot ⁡ n θ ' = 3 cot ⁡ n θ '

Agora usamos a regra da cadeira para calcular cot ⁡ n θ ' .

Lembrando que essa regrinha pe dada por:

y ' = f ' g x . g ' x

Bora aplicar?? 😉

Passo 2

Temos que achar quais são as funções f x e g x , temos que:

y = f g x

g x é a função mais de dentro e f x a função mais de fora:

g x = n θ e f u = cot ⁡ u

Passo 3

Da função trigonométrica cotangente temos:

cot ⁡ x ' = - cossec 2 ⁡ x

Do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Primeiro vamos calcular g ' x usando duas regras:

g ' x = n θ ' = n . 1 . θ 1 - 1 = n θ 0 = n . 1 = n

Agora f ' u , vamos usar a regra da derivada do cosseno:

f ' u = cot ⁡ u ' = - cossec 2 ⁡ u

Assim:

cot ⁡ n θ ' = f ' g x . g ' ( x ) = - sec 2 ⁡ u . n = - n . cossec 2 ⁡ u

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y ' = 3 cot ⁡ n θ ' = 3 - n . cossec 2 ⁡ u

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y ' = 3 - n . cossec 2 ⁡ u = 3 - n . cossec 2 ⁡ n θ = - 3 n . cossec 2 ⁡ n θ

Resposta

y ' = - 3 n . cossec 2 ⁡ n θ

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