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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 16

Encontre a derivada da função.

y = 3 cot (n theta)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom.. queremos determinar a derivada da seguinte função:

y = 3 cot (n theta)

Temos uma constante multiplicando uma função trigonométrica com um polinômio dentro, vamos com calma então pra resolver esse.

Para resolver isso, primeiro usamos a regra da multiplicação por constante:

(k f (x))^' = k f ' ( x )

y^' = (3 cot (n theta))^' = 3 (cot (n theta)) '

Agora usamos a regra da cadeira para calcular (cot (n theta)) ' .

Lembrando que essa regrinha pe dada por:

y ' = f ' (g (x)) . g ' (x)

Bora aplicar?? 😉

Passo 2

Temos que achar quais são as funções f (x) e g (x) , temos que:

y = f (g (x))

g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

g (x) = n theta e f (u) = cot (u)

Passo 3

Da função trigonométrica cotangente temos:

(cot (x))^' = - cossec^2 (x)

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando duas regras:

g^' (x) = (n theta)^' = n . 1 . theta^(1 - 1) = n theta^0 = n . 1 = n

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada do cosseno:

f^' (u) = (cot (u))^' = - cossec^2 (u)

Assim:

(cot (n theta))^' = f^' (g (x)) . g^' ( x ) = - sec^2 (u) . n = - n . cossec^2 (u)

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

y ' = 3 (cot (n theta)) ' = 3 (- n . cossec^2 (u))

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = 3 (- n . cossec^2 (u)) = 3 (- n . cossec^2 (n theta)) = - 3 n . cossec^2 (n theta)

Resposta

y ' = - 3 n . cossec^2 (n theta)

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