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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 19

19 . A c h e (d^4)/(d x^4) ((3)/(2 x - 1))

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 4 precisamos ter em mente duas coisas:

1 -Teremos que fazer 4 derivadas. Uma da função dada e três das que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 - Derivaremos as funções usando a regra do quociente.

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

(d)/(d x) ((3)/(2 x - 1)) = ((d)/(d x) (3) * ( 2 x - 1 ) - 3 * (d)/(d x) ( 2 x - 1 ))/(( 2 x - 1 ) ²)

= (- 3 * 2)/(( 2 x - 1 ) ²)

= (- 6)/(( 2 x - 1 ) ²)

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d x) ((- 6)/((2 x - 1)^2)) = ((d)/(d x) (- 6) * ( 2 x - 1 ) ² - ( - 6 ) * (d)/(d x) [(2 x - 1)^2])/(( 2 x - 1 )^4)

= (6 * 2 (2 x - 1) * 2)/(( 2 x - 1 )^4)

= (24)/(( 2 x - 1 )^3)

Passo 4

3ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 3 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d x) ((24)/((2 x - 1)^3)) = ((d)/(d x) (24) * ( 2 x - 1 ) ³ - 24 * (d)/(d x) [(2 x - 1)^3])/(( 2 x - 1 )^6)

= (- 24 * 3 ( 2 x + 1 )^2 * 2)/(( 2 x - 1 )^6)

= (- 144)/(( 2 x - 1 )^4)

Passo 5

4ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 4 dentro do nosso parêntese.

(d)/(d x) ((- 144)/((2 x - 1)^4)) = ((d)/(d x) (- 144) * (2 x - 1)^4 - ( - 144 ) * (d)/(d x) [ (2 x - 1)^4 ])/(( 2 x - 1 )^8)

= (144 * 4 ( 2 x - 1 )^3 * 2)/(( 2 x - 1 )^8)

= (1152)/(( 2 x - 1 )^5)

Passo 6

Prontinho, fizemos as quatro derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 4 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

Resposta

(d^4)/(d x^4) ((3)/(2 x - 1)) = (1152)/(( 2 x - 1 )^5)

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