Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 13
7 – 46 Encontre a derivada da função.
13.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função
E sempre que precisamos derivar uma função, a ideia é olhar direitinho pra entender quais são suas características e assim descobrir a melhor estratégia de derivação.
No caso de nossa função , perceba que ela é formada pelo pela multiplicação de duas outras funções. Podemos vê-las como sendo:
E
assim,
E para fazer essa derivada, basta usarmos a regra do produto, que é essa aqui:
Assim, precisaremos das funções , e de suas derivadas para aplicação nessa fórmula.
Vamos ver como desenrolar essa questão, então.
Passo 2
Já sabemos que nossa função é:
com
E
Vamos procurar suas derivadas. Começando com
E como temos uma potência de , podemos derivar usando a regra do expoente.
Assim:
E para a função:
Opa, essa daí é uma função exponencial, isso porque a variável está no expoente, mas ela não está sozinha, ela está sendo multiplicada por uma constante . Dizemos que essa é uma função composta.
E sua derivada será dada pela regra da cadeia, que é essa aqui:
E como a derivada , temos:
Que pode ser escrita como:
Show.
Passo 3
Lembrando que nossa função originalmente é:
E fizemos:
Sua derivada é dada por:
Sendo:
com
E
Com
Substituindo, teremos:
Podemos colocar o em evidência:
E prontinho. Derivada encontrada com sucesso!