7 – 46 Encontre a derivada da função.

28. f(z) = e^(z / (z - 1))

Passo 1

Fala aí, pessoal

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

f z = e z / ( z - 1 )  

E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.

No caso dessa função temos e elevado a z / ( z - 1 ) , e isso indica uma função composta, pois temos uma função dentro da outra.

A função de fora seria uma função do tipo:

g h = e h

Mas no lugar do h temos outra função, que é a z / ( z - 1 ) .

Podemos pensar nessa função como sendo uma

f z = g h z

e para derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro. Assim:

f ' t = g ' h z ⋅ h ' z

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te te mostro tudinho!

Passo 2

Temos a função

f z = e z / ( z - 1 )  

Aplicando a derivada na função, temos:

f ' z = d d z e z / ( z - 1 )  

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

f z = g h z

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

f ' z = g ' h z ⋅ h ' z

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a exponencial:

g h z = e h z

e sua derivada é:

g ' h z = e h z

Já a função de dentro, a interna, é

h z = z z - 1

Perceba que ela pode ser vista como uma divisão entre duas outras funções. Então podemos usar a regra do quociente.

Usando a regra do quociente para derivar esse termo, temos que:

h ' z = d d z z ⋅ z - 1 - d d z z - 1 ⋅ z z - 1 2

h ' z = 1 ⋅ z - 1 - 1 ⋅ z z - 1 2

Fazendo as somas:

h ' z = - 1 z - 1 2

Passo 3

Lembrando que

f ' t = g ' h t ⋅ h ' t

Então a derivada da função fica:

f ' z = e h z ⋅ - 1 z - 1 2

Como h z = z z - 1 :

f ' z = - e z z - 1 z - 1 2

E prontinho. Derivada calculada com sucesso.

Resposta

f ' z = - e z z - 1 z - 1 2

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