7 – 46 Encontre a derivada da função.28. f z = e z / ( z - 1 )

Enunciado

Fala aí, pessoal

Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função

E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.

No caso dessa função temos e elevado a , e isso indica uma função composta, pois temos uma função dentro da outra.

A função de fora seria uma função do tipo:

Mas no lugar do temos outra função, que é a .

Podemos pensar nessa função como sendo uma

e para derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro. Assim:

Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te te mostro tudinho!

Temos a função

Aplicando a derivada na função, temos:

Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a exponencial:

e sua derivada é:

Já a função de dentro, a interna, é

Perceba que ela pode ser vista como uma divisão entre duas outras funções. Então podemos usar a regra do quociente.

Usando a regra do quociente para derivar esse termo, temos que:

Fazendo as somas:

Lembrando que

Então a derivada da função fica:

Como :

E prontinho. Derivada calculada com sucesso.