Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 28
7 – 46 Encontre a derivada da função.
28.
Passo 1
Fala aí, pessoal
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função
E pra resolver questões desse tipo, sempre vamos olhar com cuidado as carcterísticas da função para determinar qual é o melhor método de derivação.
No caso dessa função temos e elevado a , e isso indica uma função composta, pois temos uma função dentro da outra.
A função de fora seria uma função do tipo:
Mas no lugar do temos outra função, que é a .
Podemos pensar nessa função como sendo uma
e para derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro. Assim:
Agora que já sabemos o que fazer, vamos ver isso acontecendo no passo a passo. Vem te te mostro tudinho!
Passo 2
Temos a função
Aplicando a derivada na função, temos:
Essa é uma função composta, então devemos usar a regra da cadeia para conseguir resolver, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso, temos que a função de fora, a externa, é a exponencial:
e sua derivada é:
Já a função de dentro, a interna, é
Perceba que ela pode ser vista como uma divisão entre duas outras funções. Então podemos usar a regra do quociente.
Usando a regra do quociente para derivar esse termo, temos que:
Fazendo as somas:
Passo 3
Lembrando que
Então a derivada da função fica:
Como :
E prontinho. Derivada calculada com sucesso.