Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.11 - Ex. 46
Encontre a derivada. Simplifique quando possível.
,
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, nessa questão precisamos derivar a função
,
E para fazer isso precisamos olhar para o tipo de função que temos, assim saberemos qual a melhor regra de derivação para esse caso.
E repare que nossa função é formada por uma função dentro de outra função . Sendo assim, dizemos que temos uma função composta, e para fazer sua derivação podemos usar a regra da cadeia.
Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:
Chamando:
Sua derivada será dada por:
Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.
Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.
Passo 2
Nossa função é
E estamos fazendo
E precisamos das suas derivadas.
Vamos começar derivando .
Mas repare que ele também é formado por uma função dentro da outra.
Então vamos usar a regra da cadeia para encontrar sua derivada também.
Aqui vamos chamar:
Sendo:
Assim, sua derivada será:
Assim, pela regra do expoente:
E
Logo, aplicando a regra da cadeia, teremos:
Substituindo e ajustando o expoente negativo, ficamos com:
E simplificando, ficamos com:
Show. Agora vamos procurar a derivada da função de fora.
Passo 3
Lembrando que chamamos:
E essa é uma dessas funções trigonométricas que possuem derivadas tabelas pra gente usar.
Assim
Perfeito.
Agora já temos tudo que precisamos para usar a regra da cadeia.
Passo 4
Nossa regra de derivação é dada por:
E vimos que:
E
Então, substituindo ficamos com:
Ajustando as raízes, nossa derivada será:
Prontinho!