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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.3 - Ex. 11

1 – 16 Derive.

11. f θ = sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

Opa, meu amigo. Vamos para mais uma resolução.

Hoje a gente vai derivar a função:

f θ = sin ⁡ θ 1 + c o s θ

Para isso, teremos que utilizar a regra do quociente, pois temos aqui a um quociente de funções.

A regra do quociente diz, dada um quociente de funções deriváveis u ( x ) e v ( x ) :

d d x u v = v u ' - u v ' v 2

As derivadas trigonométricas são tabeladas, as que iremos utilizar aqui são:

d d θ sin ⁡ θ = cos ⁡ θ

d d θ cos ⁡ θ = - sin ⁡ θ

Passo 2

Aplicando a derivada na função:

f ' θ = d d θ sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ

Vamos usar a regra do quociente:

f ' θ = d d θ sen ⁡ θ ⋅ 1 + cos ⁡ θ - d d θ 1 + cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Colocando a derivada do sin ⁡ θ :

f ' θ = cos ⁡ θ ⋅ 1 + cos ⁡ θ - d d θ 1 + d d θ cos ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Colocando agora a derivada do cos ⁡ θ :

f ' θ = cos ⁡ θ ⋅ 1 + cos ⁡ θ - 0 + - sen ⁡ θ ⋅ sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Fazendo as multiplicações:

f ' θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - - sen 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

f ' θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

A gente sabe que a identidade trigonométrica:

cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ = 1

então:

f ' θ = cos ⁡ θ + 1 1 + cos ⁡ θ 2

Simplificando o cos ⁡ θ + 1 :

f ' θ = 1 1 + cos ⁡ θ

Resposta

f ' θ = 1 1 + cos ⁡ θ

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Encontre (d y)/(d x) :y = x^2 ( a r c s e n (x) )^3
Encontre (d y)/(d x) :y = a r c sec (x) + a r c c o s s e c ( x )
Encontre (d y)/(d x) :y = a r c cssec (e^x)
Encontre (d y)/(d x) :y = e^x a r c sec ( x )
28- a) Mostre que y = c o sx e y = s e nx são soluções da equação y ' ' + y = 0 . b) Mostre que y =As e nx + Bc o sx é uma solução da equação y ' ' + y = 0 para qualquer valor das constantes A e B .