Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.11 - Ex. 44

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x tgh^(- 1) x + ln sqrt(1 - x ²)

Passo 1

Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

y = x tgh^(- 1) x + ln sqrt(1 - x ²) = x tgh^(- 1) (x) + ln ((1 - x ²)^((1)/(2)))

Passo 2

Agora vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão, vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia , do polinômio e da função logarítima:

(tgh^(- 1) x) ' = (1)/(1 - x^2)

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(ln (f (x)))^' = (f ' ( x ))/(f ( x ))

Passo 3

Vamos agora derivar!! Vamos usar a regra da soma também:

y^' = (x tgh^(- 1) (x) + ln ((1 - x^2)^((1)/(2))))^' = (x tgh^(- 1) (x))^' + (ln ((1 - x^2)^((1)/(2)))) '

Vamos derivar as duas partes separadas para ficar melhor de visualizar.

Passo 4

Aqui vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Assim:

(x tgh^(- 1) (x))^' = (x)^' . tgh^(- 1) (x) + (tgh^(- 1) (x))^' . x = x^(1 - 1) . tgh^(- 1) (x) + ((1)/(1 - x^2)) . x = x^0 . tgh^(- 1) (x) + (x)/(1 - x^2) = tgh^(- 1) (x) + (x)/(1 - x^2)

Passo 5

Vamos agora derivar o segundo termo:

(ln ((1 - x^2)^((1)/(2))))^' = (((1 - x^2)^((1)/(2))) ')/((1 - x^2)^((1)/(2))) = ((1)/(2) (1 - x^2)^((1)/(2) - 1) . (1 - x^2) ')/((1 - x^2)^((1)/(2))) = ((1)/(2) (1 - x^2)^(- (1)/(2)) (- 2 x^(2 - 1)))/((1 - x^2)^((1)/(2))) = ((1)/(2) (1 - x^2)^(- (1)/(2)) (- 2 x))/((1 - x^2)^((1)/(2))) = ((- 2 x)/(2 sqrt(1 - x^2)))/(sqrt(1 - x^2)) = ((- 2 x)/(2 sqrt(1 - x^2))) . ((1)/(sqrt(1 - x^2))) = - (x)/(1 - x^2)

Passo 6

Agora é só substituir de volta:

y^' = (x tgh^(- 1) (x))^' + (ln ((1 - x^2)^((1)/(2))))^' = tgh^(- 1) (x) + (x)/(1 - x^2) - (x)/(1 - x^2) = tgh^(- 1) (x)

Resposta

y^' = tgh^(- 1) (x)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada2) f x = ( 10 - 5 x ) 4
Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada5) f t = ( 2 t 4 - 7 t 3 + 2 t - 1 ) 2
Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada19) D x [ 2 x - 5 - 1 4 x + 3 - 2 ]
Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada13) d d x ( s e c 2 x t g 2 x )
Nos exercícios de 1 a 12, ache a derivada da função dada8) g x = s e n x 2