Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = x \* tgh^(-1)(x) + ln(raiz(1 - x^2))

Passo 1

Primeiro vamos dar uma arrumada nessa função:

y = x tgh - 1 ⁡ x + ln ⁡ 1 - x ² = x tgh - 1 ⁡ x + ln ⁡ 1 - x ² 1 2

Passo 2

Agora vamos analisar quais regras devemos usar para derivar essa expressão, vamos usar a fórmula da derivada de funções hiperbólicas inversas além da regra da cadeia , do polinômio e da função logarítima:

tgh - 1 ⁡ x ' = 1 1 - x 2

F ' x = f ' g x . g ' x

x n ' = n x n - 1

ln ⁡ f x ' = f ' ( x ) f ( x )

Passo 3

Vamos agora derivar!! Vamos usar a regra da soma também:

y ' = x tgh - 1 ⁡ x + ln ⁡ 1 - x 2 1 2 ' = x tgh - 1 ⁡ x ' + ln ⁡ 1 - x 2 1 2 '

Vamos derivar as duas partes separadas para ficar melhor de visualizar.

Passo 4

Aqui vamos usar a regra do produto:

f x g x ' = f ' ( x ) g x + g ' x f x

Assim:

x tgh - 1 ⁡ x ' = x ' . tgh - 1 ⁡ x + tgh - 1 ⁡ x ' . x = x 1 - 1 . tgh - 1 ⁡ x + 1 1 - x 2 . x = x 0 . tgh - 1 ⁡ x + x 1 - x 2 = tgh - 1 ⁡ x + x 1 - x 2

Passo 5

Vamos agora derivar o segundo termo:

ln ⁡ 1 - x 2 1 2 ' = 1 - x 2 1 2 ' 1 - x 2 1 2 = 1 2 1 - x 2 1 2 - 1 . 1 - x 2 ' 1 - x 2 1 2 = 1 2 1 - x 2 - 1 2 - 2 x 2 - 1 1 - x 2 1 2 = 1 2 1 - x 2 - 1 2 - 2 x 1 - x 2 1 2 = - 2 x 2 1 - x 2 1 - x 2 = - 2 x 2 1 - x 2 . 1 1 - x 2 = - x 1 - x 2

Passo 6

Agora é só substituir de volta:

y ' = x tgh - 1 ⁡ x ' + ln ⁡ 1 - x 2 1 2 ' = tgh - 1 ⁡ x + x 1 - x 2 - x 1 - x 2 = tgh - 1 ⁡ x

Resposta

y ' = tgh - 1 ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados