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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 23

Encontre a derivada da função.

y = e^(x cos x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra da função exponencial e a do produto:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) . f ' ( x )

Vamos lá:

y^' = (e^(x cos x))^' = e^(x cos x) . (x cos x) '

Passo 2

Para derivar (x cos x) ' vamos usar a regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f ' ( x ) g (x) + g ' (x) f (x)

Temos que:

f (x) = x

e

g (x) = cos x

Passo 3

Para calcular f ' ( x ) usamos a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

f^' (x) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Passo 4

Com g ' ( x ) usamos a regra da função trigonométrica do cosseno:

(cos (x))^' = - sen (x)

Assim:

g^' (x) = (cos (x))^' = - sen (x)

Passo 5

Agora é só substituir na expressão:

(x cos x)^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) = 1 . cos x + - sen (x) . x = cos x - x sen x

Passo 6

Por último é só substituir aqui:

y^' = (e^(x cos x))^' = e^(x cos x) . (x cos x)^' = e^(x cos x) . (cos x - x sen x)

Resposta

y ' = e^(x cos x) . (cos x - x sen x)

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