Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 16
Use a parte do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Passo 1
E aí, galera 😁!
Precisamos encontrar a derivada de uma função que é dada como sendo uma integral de uma outra função. Para facilitar o entendimento, vamos chamar a função de , beleza?
Mais explicitamente, temos que encontrar a derivada da função
usando a Parte do Teorema Fundamental do Cálculo.
A parte do Teorema Fundamental diz que sempre que uma função é obtida integrando uma função , então a derivada da função é a função
Mas precisamos tomar cuidado!
De forma precisa, o Teorema Fundamental do Cálculo diz que se
então
⚠️Perceba que isso não é exatamente o que temos na função , pois temos uma diferença no limite superior de integração. No caso do Teorema, o limite superior é , enquanto no caso do exercício, ele é
Para lidarmos com isso, vamos definir uma função conveniente que irá nos ajudar no cálculo da derivada que estamos procurando.
🛠️Antes disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:
- Regra da Cadeia: sejam e funções deriváveis, então
Agora, vamos colocar a mão na massa e resolver essa questão!
Passo 2
Perceba que como
então definindo a função
e usando a Parte de Teorema Fundamental, vamos ter que a derivada é dada por
beleza?
Mas pensa o seguinte: se avaliarmos a função em , temos que
Com isso, calcular a derivada é a mesma coisa do que calcular a derivada da função composta onde , ou seja,
Vamos ver como fazer isso no próximo passo!
Passo 3
Como vimos no Passo anterior, a derivada de é
e temos também que a derivada de é
Então, pela Regra da Cadeia, vamos ter que,
ou seja, substituindo as derivadas,
Dessa forma, a função procurada é dada por:
Resposta
A derivada da função
é