Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado

ln(x) = e^(-x) , (1,2)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação:

ln ⁡ x = e - x

Queremos provar através do Teorema do Valor Intermediário que existe uma raiz dessa equação no intervalo ( 1,2 ) .

Para ficar melhor de a gente entender, a gente pode transformar essa equação em uma função (você vai já entender o porquê):

f x = ln ⁡ x - e - x

Mas o que diz esse Teorema?? Bom... diz o seguinte:

“Se f for contínua em um intervalo fechado a , b , e seja N um número qualquer entre f a e f b , em que f a ≠ f b . Então existe um número c em a , b tal que f c = N ”.

Confuso né???

Em termos simples, vamos pegar o intervalo e substituir na nossa função.

Em seguida, vamos verificar se o zero da função (que é uma raiz) está de acordo com o intervalo dado.

Pelo Teorema do Valor intermediário, devemos ter o seguinte:

f a < f c < f b

Ou

f b < f c < f a

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Aplicando x = 1 na equação, temos:

f 1 = ln ⁡ 1 - e - 1 ∴

f 1 = - 1 e ∴

f 1 = - 0.3678

Aplicando x = 2 na equação, temos:

f 2 = ln ⁡ 2 - e - 2 ∴

f 2 = 0.5578

Como   - 0.3678 < 0 < 0.5578 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 1 ,   2 ) há um número c tal que f c = 0 .

Resposta

Como   0.3678 < 0 < 0.5578 , então, pelo Teorema do Valor Intermediário, no intervalo ( 1 ,   2 ) há um número c tal que f c = 0 .

Dessa forma, existe uma raiz de f ( x ) no intervalo 1 ,   2 .

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