Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.8 - Ex. 41
Um vendedor vende um carro por . Ele também oferece para vender o mesmo carro em pagamentos de por mês durante anos. Qual a taxa de juro mensal cobrada pelo vendedor?
Para resolver esse problema você necessitará da fórmula para o valor presente de uma anuidade formada por pagamentos iguais de tamanho com uma taxa de juros por período de tempo:
Substituindo por , mostre que
Use o método de Newton para resolver essa equação.
Passo 1
Nesse caso temos que , e . Então a fórmula:
se torna:
Vamos multiplicar tudo por para tirarmos aquele elevado negativo, assim ficamos com:
O método de Newton é usado para encontrar a raiz de uma função
Ele é um método iterativo, onde a partir de um chute inicial você encontrar novos valores para a raiz a partir da seguinte fórmula:
Dessa forma, podemos reescrever a nossa equação:
Como sendo:
E usar então e aplicar o método de Newton.
Passo 2
Para aplicar o método de Newton, vamos usar sua fórmula:
Vamos calcular :
Aqui vou usar a regra do produto para o fator , além da regra da cadeia e da regra da potência de .
Passo 3
Vamos substituir na fórmula de Newton:
Vamos agora analisar qual valor usar para , um valor de ao mês parece ser razoável, então vamos usar :
Vamos continuar usando o método de Newton até o valor de deixar de variar, vamos lá:
Mais uma vez, agora com :
Calma que uma hora acaba, vamos agora com :
Agora com :
Pronto, o valor não varia mais, então paramos o método iterativo.
Assim, o valor da taxa de juros mensal é de .
Resposta
O valor da taxa de juros mensal é de .