Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 52
Usando os princípios da física, pode ser mostrado que quando um cabo é pendurado entre dois postes, ele toma a forma de uma curva , que satisfaz a equação diferencial
na qual é a densidade linear do cabo, é a aceleração da gravidade e é a tensão no cabo no ponto mais baixo, e o sistema de coordenada é apropriadamente escolhido. Verifique que a função
é a solução dessa equação diferencial.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar que é solução da equação diferencial .
Observe que a equação diferencial envolve a primeira e segunda derivada de . Então, o que nós vamos fazer é derivar duas vezes e substituir na equação diferencial pra ver se os resultados são compatíveis.
Lembrando que vamos precisar usar a regra da cadeia na derivação (), juntamente com as regras de multiplicação por uma constante () e as derivadas de funções hiperbólicas:
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando em relação :
Como , e são constantes, a gente pode colocar elas pra fora da derivada:
Agora usando a regra da cadeia, vamos fazer a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro:
Derivando a função de dentro:
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos derivar a segunda vez:
Usando o resultado que obtivemos no passo anterior:
E usando a regra da Cadeia novamente, temos:
Derivando a função de dentro:
E temos a nossa segunda derivada:
Bacana, não é? 😊
Passo 4
Vamos analisar agora a equação diferencial:
Vamos substituir que achamos no passo para vermos se a função é uma solução da equação diferencial:
Usando a identidade hiperbólica e substituindo dentro da raiz, temos:
Como tá elevado ao quadrado, a gente pode tirar de dentro da raiz para obter:
Observe que esse é o mesmo resultado que obtivemos no passo , portanto, é de fato solução da equação diferencial. Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉
