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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 32

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = ln ⁡ ( sec ⁡ θ + tg ⁡ θ )

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Aqui temos que y é a composta de f θ = ln ⁡ θ com g θ = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ . Então pela regra da cadeia temos que

y ' θ = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos agora calcular as derivadas de   f e de g . Nesse caso, a derivada de f é clássica e dada por:

f ' θ = 1 θ

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada de g :

g ' θ = sec ⁡ θ + tg ⁡ θ ' = sec ⁡ θ ' + tg ⁡ θ '

Agora cada uma dessas derivadas são tabeladas e valem

g ' θ = tg ⁡ θ sec ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ

Passo 5

Juntando tudo temos que:

y ' θ = 1 sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ⋅ tg ⁡ θ sec ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ

Resposta

y ' = 1 sec ⁡ θ + tan ⁡ θ ⋅ tg ⁡ θ sec ⁡ θ + sec 2 ⁡ θ

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