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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 12

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = ln (tg^(- 1) 3 x)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de tg^(- 1)

(tg^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2)

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

f (x) = h (g (w (x)))

Com

h (x) = ln x

g (x) = tg^(- 1) x

w (x) = 3 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = h^' (g (w (x))) (g (w (x)))^'

f^' (x) = h^' (g (w (x))) g^' (w (x)) w^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(x)

Que é a derivada de tgh^(- 1)

Então

f^' (x) = (1)/(g (w (x))) g^' (w (x)) w^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de g (x)

g (x) = tg^(- 1) x -> g^' (x) = (1)/(1 + x^2)

Vamos ter

f^' (x) = (1)/(tg^(- 1) w (x)) (1)/(1 + (w (x))^2) w^' (x)

Passo 3

Vamos agora para w (x)

w (x) = 3 x -> w^' (x) = 3

Vamos ficar com:

f^' (x) = (1)/(tg^(- 1) 3 x) (1)/(1 + (3 x)^2) 3

f^' (x) = (3)/(tg^(- 1) 3 x (1 + 9 x^2))

Resposta

f^' (x) = (3)/(tg^(- 1) 3 x (1 + 9 x^2))

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