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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 20

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = sec^(- 1) (sqrt(x^2 + 4))

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de sec^(- 1)

(sec^(- 1) x)^' = (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

F (x) = h (g (w (x)))

Com

h (x) = sec^(- 1) x

g (x) = sqrt(x)

w (x) = x^2 + 4

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = h^' (g (w (x))) (g (w (x)))^'

F^' (x) = h^' (g (w (x))) g^' (w (x)) w^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Que é a derivada de tgh^(- 1)

Então

F^' (x) = (1)/(|g (w (x))| sqrt((g (w (x)))^2 - 1)) g^' (w (x)) w^' (x)

Passo 2

Vamos achar a derivada de g (x)

g (x) = sqrt(x) = x^((1)/(2)) -> g^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2))

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(|sqrt(w (x))| sqrt((sqrt(w (x)))^2 - 1)) (1)/(2) (w (x)^(- (1)/(2))) w^' (x)

F^' (x) = (1)/(|sqrt(w (x))| sqrt(|w (x)| - 1)) (1)/(2) (w (x)^(- (1)/(2))) w^' (x)

Passo 3

Vamos agora para w (x)

w (x) = x^2 + 4 -> w^' (x) = 2 x

Vamos ficar com:

F^' (x) = (1)/(|sqrt(x^2 + 4)| sqrt(|x^2 + 4| - 1)) (1)/(2) ((x^2 + 4)^(- (1)/(2))) 2 x

Como x^2 + 4 é sempre positivo:

F^' (x) = (x)/(|sqrt(x^2 + 4)| sqrt(x^2 + 4 - 1)) ((x^2 + 4)^(- (1)/(2)))

F^' (x) = (x)/(|sqrt(x^2 + 4)| sqrt(x^2 + 3)) ((x^2 + 4)^(- (1)/(2)))

Além disso:

(x^2 + 4)^(- (1)/(2)) = (1)/(sqrt(x^2 + 4 ))

A derivada vai ficar:

F^' (x) = (x)/(|sqrt(x^2 + 4)| sqrt(x^2 + 3)) (1)/(sqrt(x^2 + 4 ))

F^' (x) = (x)/(|sqrt(x^2 + 4)^2| sqrt(x^2 + 3))

F^' (x) = (x)/((x^2 + 4) sqrt(x^2 + 3))

Resposta

F^' (x) = (x)/((x^2 + 4) sqrt(x^2 + 3))

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