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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 17

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = cos^(- 1) sen x

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cos^(- 1)

(cos^(- 1) x)^' = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

Vamos fazer

f (x) = g (h (x))

Com

g (x) = cos^(- 1) x

h (x) = sen x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (x) = g^' (h (x)) h^' (x)

Temos

g^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

Que é a derivada de senh^(- 1)

Então

f^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - (h (x))^2)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^2 -> h^' (x) = 2 x

Vamos ter

f^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - (x^2)^2)) . 2 x

f^' (x) = - (2 x)/(sqrt(1 - x^4))

Resposta

f^' (x) = - (2 x)/(sqrt(1 - x^4))

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