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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 23

Encontre a derivada da função dada:

f (z) = (cotgh^(- 1) z^2)^3

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cotg h^(- 1)

(co tgh^(- 1) z)^' = (1)/(1 - z^2)

Temos que ficar atentos aqui, temos 3 funções.

Vamos fazer

f (z) = h (g (w (z)))

Com

h (z) = z^3

g (z) = cotgh^(- 1) z

w (z) = z^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (z) = h^' (g (w (z))) (g (w (z)))^'

f^' (z) = h^' (g (w (z))) g^' (w (z)) w^' (z)

Temos

f^' (z) = 3 z^2

Que é a derivada de co tgh^(- 1)

Então

f^' (z) = 3 (g (w (z)))^2 g^' (w (z)) w^' (z)

Passo 2

Vamos achar a derivada de g (z)

g (z) = cotgh^(- 1) z -> g^' (z) = (1)/(1 - z^2)

Vamos ter

f^' (z) = 3 (cotgh^(- 1) z^2)^2 (1)/(1 - (w (z))^2) w^' (z)

Passo 3

Vamos agora para w (z)

w (z) = z^2 -> w^' (z) = 2 z

Vamos ficar com:

f^' (z) = 3 (cotgh^(- 1) z^2)^2 (1)/(1 - (z^2)^2) 2 z

f^' (z) = (6 z (cotgh^(- 1) z^2)^2)/(1 - z^4)

Resposta

f^' (z) = (6 z (cotgh^(- 1) z^2)^2)/(1 - z^4)

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Ache a derivada da função F (x) = senh^3 ( 2 x ) .
Ache a derivada da função f (x) = sech ( tan 3 x ) .
Ache a derivada da função h (x) = cosech^2 e^(2 x) .
Faça um esboço do gráfico da função f (x) = (1)/(2) sen^(- 1) 3 x
Ache a derivada da função f (x) = (cosh x)^((1)/(x)) .