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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 27

Nos exercícios de 17 a 30, ache a derivada da função dada:

27 )   F x = sen - 1 ⁡ ( tgh ⁡ x ² )

Passo 1

Bom, apesar de parecer confusa esta questão não é complicada. Vamos ter que lembrar do Teorema 8.2.1:

D x s e n - 1 u = 1 1 - u ² . D x u

Legal, precisamos deixar esta função mais similar ao teorema, e para isso podemos chamar:

u = tgh ⁡ x ²

Aqui precisamos de D x u , e quando derivamos olha só o que temos:

D x u = D x ( tgh ⁡ x ² )

Legal, já sabemos que para derivar a tangente hiperbólica usamos o Teorema 8.4.5:

D x   tgh ⁡ u = s e c h ²   u . D x u

Meio complicado, né? Então vamos por partes.

Passo 2

Vamos derivar tg h  ⁡ x ² . Para deixar a função mais parecida com o teorema 8.4.5 podemos chamar:

u = x ²

Como precisamos de D x u , vamos ter que derivar nosso u:

D x u = 2 x

Substituindo:

D x   tg h ⁡ x ² = 2 x . s e c h ²   ( x ² )

Ainda não acabou né, vamos substituir tudo no teorema 8.2.1:

D x sen - 1 ⁡ ( tgh ⁡ x ² ) = 1 1 - t g h 2 ( x ² ) . 2 x . s e c h ²   ( x ² )

Passo 3

Vamos simplificar esta derivada usando a identidade (7):

sech ² ⁡ x = 1 - tgh 2 ⁡ x

Jogando na derivada:

D x sen - 1 ⁡ ( tgh ⁡ x ² ) = 2 x sech ⁡ x ² . s e c h ²   x ²

D x sen - 1 ⁡ ( tgh ⁡ x ² ) = 2 x . s e c h   x ²

Resposta

F ' ( x ) = 2 x . sech ⁡ x ²

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