27- Nos Exercícios 25-36, determine a derivada de y em relação à variável adequada.

y = (1 - theta) * tg(h^(-1)) * theta

Passo 1

Aplicando a regra do produto na função teremos:

d y d θ = d 1 - θ d θ t g h - 1 θ + 1 - θ × d ( t g h - 1 θ ) d θ

Passo 2

Utilizando a propriedade de derivada de função inversa para calcular a deriva do arco-tangente hiperbólico:

f - 1 x = 1 f ' ( f - 1 x )

No caso do arco-tangente hiperbólico temos:

d ( t g - 1 x ) d x = 1 sec 2 ⁡ ( t g - 1 x )

Porém temos a seguinte relação entre tangente hiperbólico e secante hiperbólica:

t g h 2 x = 1 - sech 2 ⁡ x → sech 2 ⁡ x = 1 - t g h 2 x

Logo:

d ( t g - 1 x ) d x = 1 1 - t g h 2 t g - 1 x

Só que t g t g - 1 x = x , logo:

d ( t g - 1 x ) d x = 1 1 - x 2

Passo 3

Substituindo o resultado da derivada do arco tangente no domínio de θ e fazendo a outra derivada da regra da cadeia nós teremos:

d y d θ = - 1 × t h g - 1 θ + 1 - θ 1 1 - θ 2

d y d θ = - t g h - 1 θ + 1 - θ ( 1 + θ ) ( 1 - θ )

d y d θ = - t g h - 1 θ + 1 1 + θ

Resposta

d y d θ = - t g h - 1 θ + 1 1 + θ

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