Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 52
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Vamos começar tentando calcular o limite pedido, aplicando diretamente a tendência do para o infinito. Assim:
O que nos dará uma indeterminação do tipo:
Mas essa não é do tipo L’Hospital. Então vamos mexer um pouco na forma algébrica como a função está escrita para ver se conseguimos calcular esse limite.
Passo 3
Podemos começar colocando em evidência. Assim:
Agora, vamos fazer a mudança de variável
de modo que quando
Além disso,
Assim, nosso limite se transforma em:
Note que para esse limite temos uma indeterminação do tipo 0/0.
Passo 4
Como a indeterminação é do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital. Sendo:
Assim, precisamos das derivada das funções que estão no numerador e no denominador. Fazendo:
Com
E
Com
E nosso limite se transforma em:
E aplicando a tendência de a ficamos com:
E prontinho, conseguimos calcular nosso limite.