Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.2 - Ex. 2
2) Encontre a derivada da função:
De duas maneiras: usando a regra do quociente e simplificando antes. Mostre que suas respostas são equivalentes. Qual método você prefere?
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar sua derivada de duas maneira diferentes. Uma delas é usando a regra do quociente e a outra é simplificando a função. Então vamos lá.
Para o primeiro tipo de resolução devemos pensar o seguinte:
Observe que essa função é formada por uma fração onde temos uma função no numerador e outra no denominador. Podemos pensar dessa forma, sendo:
Assim, nossa função se torna:
Quando temos um quociente entre duas funções a regra é essa aqui:
E basta fazer a substituição de cada item na fórmula.
A outra forma de fazer é simplificando a função, que basicamente é reescever a função de uma forma mais simples sem alterar quem ela é. Mas vamos ver como fazer no passo a passo.
Então, partiu aplicar essas regras juntinho comigo.
Passo 2
Pensando em nossa função como:
E sua derivada será dada por:
Enão já vamos fazer as derivada aqui de uma vez pra depois só substituir na fórmula de derivação, beleza?
Como:
Vamos primeiro reescrevê-la de maneira mais simples percebendo que
E teremos:
Ou, ainda melhor:
E sua derivada seguirá a regra de derivação de potência na forma: . Assim:
Que nos dá:
Show. E para a função
Seguiremos a mesma regra e teremos:
Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir na fórmula.
Passo 3
Subitituindo tudo, ficamos com:
Multiplicando e organizando tudo ficamos com:
Que se torna:
E, pro fim:
Maravilha. Temos nossa derivada pela regra do quociente.
Agora vamos ao segundo modo.
Passo 4
Vamos começar simplificando a função que temos
Que fica:
E podemos escrever a raiz com expoente fracionário ficando com:
E podemos derivar através da regra do expoente, e ficamos com:
Perceba que os dois resultados são equivalentes e seria uma forma mais direta e
rápida para se obter .
A questão pergunta qual o modo você prefere. Bom, eu prefiro o segundo, e você?