Encontre a derivada da função. Simplifique onde for possível.

F(x) = x * sec^(-1)(x^3)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada da função:

F x = x sec - 1 ( ⁡ x 3 )

Observe que nós temos um produto e uma função composta sec - 1 ( ⁡ x 3 ) . Isso significa que vamos precisar usar a regra do produto e a regra da Cadeia na derivação, que são respectivamente:

f g ' = f ' g + f g '

f g x ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Lembrando que a derivada da inversa da secante ( sec - 1 ( ⁡ x ) ) é 1 x 2 x 2 - 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é

F x = x sec - 1 ( ⁡ x 3 )

E para usar a regra do produto vamos pensar nela com sendo

F x = f x ⋅ g x

Assim, sua derivada será:

f g ' = f ' g + f g '

Para isso precisaremos das funções f , g e de suas derivadas. Assim:

f x = x

E

f ' x = 1

E para

g x = sec - 1 ( ⁡ x 3 )

A derivada precisará de uma regra da cadeia, pois temos uma função composta. Ela é dada por:

g h x ' = g ' h ⋅ h ' x

Assim, faremos a derivada da função de fora, vezes a derivada da função de dentro.

Lembrando que a derivada da inversa da secante ( sec - 1 ⁡ h é 1 h 2 h 2 - 1 .

E sendo esse h = x 3 , teremos:

g ' x 1 x 3 x 6 - 1 ⋅ 3 x 2

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos aplicar a regra do produto.

Passo 3

A regra do produto é dada por:

f g ' = f ' g + f g '

E vimos que

f x = x

f ' x = 1

E para

g x = sec - 1 ( ⁡ x 3 )

g ' x 1 x 3 x 6 - 1 ⋅ 3 x 2

Assim:

F ' x = 1 ⋅ sec - 1 ⁡ x 3 + x ∙ 1 x 3 x 6 - 1 ∙ 3 x 2

E simplificando, temos:

F ' x = sec - 1 ⁡ x 3 + 3 x 6 - 1

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

F ' x = sec - 1 ⁡ x 3 + 3 x 6 - 1

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