Encontre y' e y'' :

y = raiz(x) \* ln(x)

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primeira e a segunda derivada da função:

y = x ln ⁡ ( x )

Observe que nós temos um produto de funções. Isso significa que vamos ter usar a regra do produto na derivação. Lembra dela? A regra do produto é dada por:

f ∙ g ' = f ' ( x ) ∙ g ( x ) + f ( x ) ∙ g ' ( x )

Lembrando que a derivada de ln ⁡ x é igual a 1 x , beleza? Vamos lá!!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do produto na nossa função:

y ' = x ∙ ln ⁡ x ' + x ' ∙ ln ⁡ x

E derivando, vamos ter:

y ' = x ∙ 1 x + 1 2 x ∙ ln ⁡ x

y ' = x x + ln ⁡ x 2 x

Tirando o MMC, temos a nossa primeira derivada:

y ' = 2 + ln ⁡ x 2 x

Passo 3

Agora vamos pegar esse resultado que encontramos no passo 2 e derivar novamente:

y ' ' = d d x 2 + ln ⁡ x 2 x

Observe que agora temos um quociente de funções, então vamos ter que aplicar a regra do quociente ( f g ' = f ' g - f g ' g 2 ) para obter:

y ' ' = 2 + ln ⁡ x ' 2 x - 2 + ln ⁡ x 2 x ' 2 x 2

y ' ' = 2 x 1 x - 2 + ln ⁡ x 1 x 2 x 2

Aplicando a distributiva nos produtos:

y ' ' = 2 x x - 2 x - ln ⁡ x x 4 x

y ' ' = 2 x - 2 x - x ln ⁡ x x x 4 x

Fazendo a divisão de frações:

y ' ' = 2 x - 2 x - x ln ⁡ x x x ∙ 1 4 x

E simplificando, temos a segunda derivada:

y ' ' = - ln ⁡ x 4 x x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y ' = 2 + ln ⁡ x 2 x

y ' ' = - ln ⁡ x 4 x x

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