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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.6 - Ex. 23

Encontre y^' e y^(' ') :

y = sqrt(x) ln ( x )

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a primeira e a segunda derivada da função:

y = sqrt(x) ln ( x )

Observe que nós temos um produto de funções. Isso significa que vamos ter usar a regra do produto na derivação. Lembra dela? A regra do produto é dada por:

(f * g)^' = f^' ( x ) * g ( x ) + f ( x ) * g^' ( x )

Lembrando que a derivada de ln x é igual a (1)/(x) , beleza? Vamos lá!!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra do produto na nossa função:

y^' = sqrt(x) * [ln (x)]^' + (sqrt(x))^' * ln (x)

E derivando, vamos ter:

y^' = sqrt(x) * (1)/(x) + (1)/(2 sqrt(x)) * ln (x)

y^' = (sqrt(x))/(x) + (ln (x))/(2 sqrt(x))

Tirando o MMC, temos a nossa primeira derivada:

y^' = (2 + ln (x))/(2 sqrt(x))

Passo 3

Agora vamos pegar esse resultado que encontramos no passo 2 e derivar novamente:

y^(' ') = (d)/(d x) [(2 + ln (x))/(2 sqrt(x))]

Observe que agora temos um quociente de funções, então vamos ter que aplicar a regra do quociente ( ((f)/(g))^' = (f^' g - f g^')/(g^2) ) para obter:

y^(' ') = ((2 + ln (x))^' (2 sqrt(x)) - (2 + ln (x)) (2 sqrt(x))^')/((2 sqrt(x))^2)

y^(' ') = (2 sqrt(x) ((1)/(x)) - (2 + ln (x)) ((1)/(sqrt(x))))/((2 sqrt(x))^2)

Aplicando a distributiva nos produtos:

y^(' ') = ((2 sqrt(x))/(x) - (2)/(sqrt(x)) - (ln (x))/(sqrt(x)))/(4 x)

y^(' ') = ((2 x - 2 x - x ln (x))/(x sqrt(x)))/(4 x)

Fazendo a divisão de frações:

y^(' ') = (2 x - 2 x - x ln (x))/(x sqrt(x)) * (1)/(4 x)

E simplificando, temos a segunda derivada:

y^(' ') = - (ln (x))/(4 x sqrt(x))

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y^' = (2 + ln (x))/(2 sqrt(x))

y^(' ') = - (ln (x))/(4 x sqrt(x))

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