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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 49

Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível

H x = 1 + x 2 a r c t g   x

Passo 1

Bom, galera, nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de primeira ordem da função

H x = 1 + x 2 a r c t g   x

em relação a x .

Veja que nossa função é formada por duas outras funções que estão sendo multiplicadas. Sendo assim, deveremos utilizar a Regra do Produto

Quando queremos derivar uma função formada por um produto entre duas funções outras funções fazemos:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

Show. Agora que sabemos que regra usar, vamos colocar a mão na massa!

Passo 2

Precisamos derivar

H x = 1 + x 2 a r c t g   x

E estamos pensando nela como

H x = f x ⋅ g x

onde

f x = 1 + x 2

E

g x = a r c t g ( x )

Para aplicar a regra do produto precisamos das derivadas de cada uma dessas funções. Então bora derivar uma de cada vez.

Para

f x = 1 + x 2

Podemos usar a regra do expoente. Assim:

f ' x = 0 + 2 x

Ou melhor:

f ' x = 2 x

E para

g x = a r c t g x

Essa é uma derivada tabelada dada por:

g ' x = 1 1 + x 2

Agora que já temos tudo que precisamos, basta substituir.

Passo 3

Aplicando a regra do produto, teremos:

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f ( x )

Com

H ' ( x ) = 2 x a r c t g   x + 1 + x 2 1 1 + x 2

Podemos simplificar o segundo termo de H ' ( x ) , ficando com

H ' ( x ) = 2 x a r c t g   x + 1

E prontinho.

Resposta

H ' ( x ) = 2 x a r c t g   x + 1

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