Encontre o volume do sólido S descrito. Um tronco de cone circular reto de altura h , raio da base inferior R e raio da base superior r .

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá o seguinte sólido:

E pede pra a gente calcular o volume!

Para formar essa figura nós temos um triângulo retângulo girando em torno do eixo y , com a parte superior sendo recortada. Podemos formar a seguinte figura para análise:

Pra calcular o volume temos:

V = π ∫ 0 h R - R - r h y 2 d y

Passo 2

Agora a gente vai reorganizar essa galera, abrindo essa expressão temos:

V = π ∫ 0 h R 2 - 2 R R - R h y + R - r h 2 y 2 d y

V = π ∫ 0 h R 2 d y + 2 R R - R h ∫ 0 h y   d y + R - r h 2 ∫ 0 h y 2   d y

Integrando:

V = π R 2 y - R R - r h y 2 + 1 3 R - r h 2 y 3 0 h

V = π R 2 y - R R - r h + 1 3 R - r 2 h

1 3 π h 3 R r + R 2 - 2 R r + r 2

Chegamos em:

V = 1 3 π h ( R 2 + R r + r 2 )

Prontinho!!

Resposta

V = 1 3 π h ( R 2 + R r + r 2 )

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