Nos exercícios 25 a 34, ache dy/dx

29.sen(x + y) + sen(x - y) = 1

Passo 1

Como não podemos separar o x e o y na equação, precisaremos derivar implicitamente. Então aplicamos a derivada de x nos dois lados:

d d x s e n x + y + s e n x - y = d d x 1

Passo 2

O lado direito é simples:

d d x 1 = 0

E no lado esquerdo vamos precisar de um pouco mais de trabalho:

d d x s e n x + y + s e n x - y

Vamos separar em duas derivadas, e resolver uma de cada vez:

d d x s e n x + y + d d x s e n x - y

Passo 3

Fazendo a primeira:

d d x s e n x + y

Precisamos aplicar a Regra da Cadeia. Derivamos a função de fora primeiro:

d d x s e n t = c o s t

Substituímos t pela função de dentro e depois multiplicamos pela derivada da função de fora, assim:

cos ⁡ x + y d d x x + y

Separando os dois termos na derivada:

cos ⁡ x + y d d x x + d d x ( y )

E as duas derivadas podem ser feitas diretamente:

d d x x = 1

d d x y = y '

Assim:

cos ⁡ x + y ( 1 + y ' )

Passo 4

Na derivada que deixamos em segundo lugar, vamos ter que aplicar os mesmos passos:

d d x s e n x - y

Primeiro aplicamos a Regra da Cadeia, resultando:

c o s ⁡ ( x - y ) d d x ( x - y )

Separamos os dois termos que apareceram na derivada, e fazemos um de cada vez:

c o s ⁡ ( x - y ) d d x ( x ) - d d x ( y )

Que fica o seguinte:

cos ⁡ x - y ( 1 - y ' )

Passo 5

Agora basta substituir os resultados dos Passos 3 e 4 na equação que separamos do Passo 1:

d d x s e n x + y + s e n x - y = d d x 1

cos ⁡ x - y 1 - y ' +   cos ⁡ x + y 1 + y ' = 0

Reescrevendo:

cos ⁡ x - y 1 - y ' = - c o s ⁡ ( x + y ) ( 1 + y ' )

cos ⁡ x - y - y ' cos ⁡ x - y = - cos ⁡ x + y - y ' c o s ⁡ ( x + y )

y ' cos ⁡ x + y - y ' cos ⁡ x - y = - cos ⁡ x + y - cos ⁡ x - y

y ' = d y d x = - cos ⁡ x + y + c o s ⁡ ( x - y ) cos ⁡ x + y - c o s ⁡ ( x - y )

Resposta

d y d x = - cos ⁡ x + y + c o s ⁡ ( x - y ) cos ⁡ x + y - c o s ⁡ ( x - y )

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