Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 48
41 – 50 Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.
48.
Passo 1
Fala aí, belezinha?
Bom, essa questão é bem direta. Ela pede pra gente encontrar a derivada da função:
E simplificar o resultando se possível.
E para questões desse tipo, a ideia é sempre observar qual o tipo de função que nós temos e assim definir qual a melhor regra de derivação pra usar.
Então, perceba que nossa função é formada por duas parcelas. Então podemos separar essa derivada para cada um dos termos. Assim:
Se torna:
Agora podemos olhar para cada uma delas separadamente.
Então faremos:
E a regra de derivação aqui será a regra do produto, já que temos multiplicando .
Já para:
Temos uma função dentro da outra, então a regra mais adequada é a regra da cadeia.
Agora já sabemos o que fazer. Então vem comigo que vou te mostrar tudinho no passo a passo.
Passo 2
Vamos começar com
Podemos pensar na função
E a regra do produto nos dirá que sua derivada é dada por:
Ou seja, precisaremos das funções e e suas derivadas.
Sendo:
E
Essa derivada é tabelada e seu valor é:
Então:
Show. Agora vamos para outra derivada.
Passo 3
Para derivarmos precisamos utilizar a regra da cadeia, já que temos uma função dentro da outra.
Podemos pensar nela como sendo:
Ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso a função de fora é a raiz quadrada que foi transformada em expoente , e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:
O que nos dará:
Que pode ser escrito com:
E simplificando ficamos com:
Agora, basta encaixar tudo em nossa derivada original.
Passo 4
Nossa derivada era:
E vimos que
E
Então, subistituindo tudo, teremos:
E agora obtemos dois termos simétricos, então podemos cortar e só sobra:
E prontinho. Depois de tudo isso, encontramos nossa resposta.