51 – 52 Encontre f'(x) . Verifique se sua resposta é razoável comparando os gráficos de f e f' .

52.

f(x) = x * arcsen(1 - x^2)

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Essa questão pede pra gente encontrar a derivada da função

f x = x arcsen ⁡ ( 1 - x 2 )

E depois verificar se nossa resposta é razoável comparando os gráficos de f e f ' .

Então a ideia aqui é ver direitinho qual é o tipo de função que estamos derivando para determinar a regra de derivação mais adequada.

E perceba que nossa função é formada por uma multiplicação entre duas outras funções

Veja:

f x = x ⋅ arcsen ⁡ ( 1 - x 2 )

Podemos pensar nela da seguinte forma:

f x = u ⋅ v

Onde

u = x

E

v = arcsen ⁡ 1 - x 2

Sendo assim, a regra mais adequada para derivr essa função é a regra do produto.

Ela é a seguinte:

u ⋅ v ' = u ' ⋅ v + v ' ⋅ u

Então, já sabemos por onde começar. Vem comigo que te mostro tudinho no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é:

f x = x ⋅ arcsen ⁡ ( 1 - x 2 )

E estamos pensando nela da seguinte forma:

f x = u ⋅ v

Assim, sua derivada sera:

f ' = u ' ⋅ v + v ' ⋅ u

Então precisaremos das funções u , v e de suas derivadas. Então, teremos:

u = x

E

u ' = 1

v = arcsen ⁡ 1 - x 2

Para derivarmos arcsen ⁡ ( 1 - x 2 ) precisamos utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função dentro da outra.

Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”, do tipo

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' = f ' g ⋅ g '

Nesse caso a função de fora é o arco seno e a função de dentro é ( 1 - x 2 ) , então podemos escrever a equação como sendo:

v ' = arcsen ⁡ ( 1 - x 2 ) ' ⋅ - 2 x

A derivada do arco seno é tabelada e dada por:

arcsen ⁡ g x ' = 1 1 - 1 - x 2 2

Assim:

v ' = 1 1 - 1 - x 2 2 ⋅ - 2 x

v ' = - 2 x 1 - 1 - x 2 2

Agora que já temos tudo que precisávamos, basta substituir.

Passo 3

f x = x ⋅ arcsen ⁡ ( 1 - x 2 )

f ' = u ' ⋅ v + v ' ⋅ u

E sendo

u = x

u ' = 1

e

v = arcsen ⁡ 1 - x 2

v ' = - 2 x 1 - 1 - x 2 2

E substituindo, ficamos com:

Então a derivada da função fica:

f ' x = 1 ⋅ arcsen ⁡ ( 1 - x 2 ) + - 2 x 1 - 1 - x 2 2 ⋅ x

Multiplicando ficamos com:

f ' x = arcsen ⁡ 1 - x 2 - 2 x 2 1 - 1 - 2 x 2 + x 4

E ajeitando um pouco mais, teremos:

f ' x = arcsen ⁡ 1 - x 2 - 2 x 2 2 x 2 - x 4

Prontinho, derivada calculada.

Passo 4

Para comparar os gráficos precisamos plotá-los com o auxilio de algum software, eu vou usar o GeoGebra que é online e fácil de usar, só escrever a função que aparece lá:

A função verde é a que tínhamos no começo e a azul é sua derivada calculada por nós.

A função calculada por nós faz sentido:

Na coordenada em que a função atinge seu mínimo e seu máximo a derivada cruza o zero.

Onde a função está decrescendo a derivada realmente está negativa e onde a função está crescente a derivada está positiva.

Resposta

f ' x = arcsen ⁡ 1 - x 2 - 2 x 2 2 x 2 - x 4

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