41 – 50 Encontre a derivada da função. Simplifique onde possível.

50. y = arctg(cos(θ))

Passo 1

Oi galerinha, vamos entender melhor essa questão

y = arctg ⁡ cos ⁡ θ , isso indica que estamos interessados em uma função trigonométrica inversa, neste caso, a tangente inversa, aplicada a cos ⁡ ( θ )

O enunciado solicita a derivada de y em relação a θ , o que significa que queremos encontrar como a função y muda à medida que θ muda.

Para resolver esse problema, vamos usar a regra da cadeia, que é uma técnica de diferenciação usada quando temos uma função composta.

Aqui, a função composta é y = arctg ⁡ cos ⁡ θ onde a função externa é arctan ⁡ u e a função interna é cos ⁡ ( θ )

Então, o processo envolve:

1. Encontrar a derivada da função externa arctan ⁡ ( u ) em relação a u .

2. Encontrar a derivada da função interna cos ⁡ ( θ ) em relação a θ .

3. Multiplicar essas duas derivadas juntas, usando a regra da cadeia, para obter a derivada da função composta y em relação a θ .

Passo 2

Para derivarmos arctg ⁡ cos ⁡ θ precisamos utilizar a regra da cadeia, ela diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Nesse caso a função de fora é o arco tangente e a função de dentro é o cosseno, então podemos escrever a equação como sendo:

y ' = d d θ arctg ⁡ g θ ⋅ d d θ ( cos ⁡ θ )

A derivada do arco tangente é:

d d θ arctan ⁡ g θ = 1 1 + g θ 2

Passo 3

E a derivada do cosseno é menos o seno:

d d θ cos ⁡ θ = - sen ⁡ θ

Logo, nossa equação fica:

y ' = 1 1 + g θ 2 ⋅ - sen ⁡ θ

Lembrando que g θ = cos ⁡ θ , então:

y ' = 1 1 + cos ⁡ θ 2 ⋅ - sen ⁡ θ

y ' = - sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Resposta

y ' = - sen ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

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