54. Suponha que w = u ∘ v e u(0) = , v(0) = 2 , u' (0) = 3 , u'² = 4 , v' (0) = 5 e v'^(2) = 6 . Encontre w' (0) .

Passo 1

Olá, meu amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

A gente precisa encontrar a derivada:

F = W ' ( 0 )

Mas não temos quem é a função W ( x ) , apenas algumas informações sobre ela. E uma dessas informações é que ela é uma função composta, sendo assim, para derivar funções compostas precisamos utilizar da regra da cadeia.

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

E é utilizado dessa regra que iremos realizar essa derivação.

Passo 2

A função composta w = u ∘ v , pode ser reescrita como sendo:

w x = u v x

Precisamos derivá-la, pois queremos descobrir o valor de w ' 0 .

A regra da cadeia diz que quando temos uma “função dentro da outra”, uma função composta:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Usando os termos da nossa função, podemos escrever:

w ' x = u ' v x ⋅ v ' x

Como queremos w ' 0 , vamos substituir o x por 0 :

w ' 0 = u ' v 0 ⋅ v ' 0

Sabemos o valor de v 3 e de v ' 3 :

v ' 0 = 5

v 0 = 2

w ' 0 = u ' 2 ⋅ 5

Também sabemos o valor de u ' 2 :

u ' 2 = 4

w ' 0 = 4 ⋅ 5

Então a derivada da função w x , em x = 0 é igual a:

w ' 0 = 20

Resposta

w ' 0 = 20

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